Courbes d'équation y=x, y=x² et y=x³, x≥0

Propriété

Soit \(x\) un réel positif ou nul. On a :

• si \(0<x<1\), alors \(0<x^2<x^2<x<1\) ;
  
• si \(x>1\), alors \(x^3>x^2>x>1\) ;
  
• si \(x=0\) ou \(x=1\), alors \(x=x^2=x^3\).
  

On se place dans un repère orthonormé du plan.

Remarques

• Sur \(]~0~;~1~[\), la droite d'équation \(y=x\) en rouge est située au-dessus de la parabole en bleu représentant la fonction carré qui est elle-même située au-dessus de la courbe en vert représentant la fonction cube.
  
• Sur \(]~1~;~+\infty~[\), la droite d'équation \(y=x\) en rouge est située en dessous de la parabole en bleu représentant la fonction carré qui est elle-même située en dessous de la courbe en vert représentant la fonction cube.
  
• Les trois courbes se coupent aux points d'abscisse \(x=0\) et \(x=1\).

Démonstration

1. On factorise les expressions \(\boldsymbol {x^2-x}\) et \(\boldsymbol {x^3-x^2}\)

Pour tout réel \(x\), on a \(x^2-x=x(x-1)\) et \(x^3-x^2=x^2(x-1)\).

2. On suppose que \(\boldsymbol {0<x<1}\)

• \(x-1<0\) et \(x>0\) donc, en appliquant la règle des signes, on obtient : \(x(x-1)<0\) soit \(x^2-x<0~~\Leftrightarrow~~x^2<x\).
  
•  \(x-1<0\) et \(x^2>0\) donc, en appliquant la règle des signes, on obtient : \(x^2(x-1)<0\) soit \(x^3-x^2<0~~\Leftrightarrow~~x^3<x^2\).
  
• De plus   \(x>0\)  donc, par croissance de la fonction cube, on obtient : \(x^3>0^3\) soit \(x^3>0\).
  

On obtient donc \(0<x^3<x^2<x<1\).

3. On suppose que \(\boldsymbol {x>1}\)

•  \(x-1>0\) et \(x>1>0\) donc, en appliquant la règle des signes, on obtient : \(x(x-1)>0\) soit \(x^2-x>0~~\Leftrightarrow~~x^2>x\).
  
•  \(x-1>0\) et \(x^2>1^2>0\) donc, en appliquant la règle des signes, on obtient : \(x^2(x-1)>0\) soit \(x^3-x^2>0~~\Leftrightarrow~~x^3>x^2\).
  

On obtient donc \(x^3>x^2>x>1\).

4. On suppose que \(\boldsymbol {x=0}\)

• \(x^3=0^3=0\)
  
• \(x^2=0^2=0\)
  
• \(x=0\)
  

On obtient \(x^3=x^2=x\)

5. On suppose que \(\boldsymbol {x=1}\)

• \(x^3=1^3=1\)
  
• \(x^2=1^2=1\)
  
• \(x=1\)
  

On obtient \(x^3=x^2=x\).